作业帮三角形ABC中,AB=4倍根号6/3 cosB=根号6/6 ,AC边上的中线BD=根号5,求sinA值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 11:44:56
三角形ABC中,AB=4倍根号6/3 cosB=根号6/6 ,AC边上的中线BD=根号5,求sinA值
三角形ABC中,AB=4倍根号6/3 cosB=根号6/6 ,AC边上的中线BD=根号5,求sinA值
三角形ABC中,AB=4倍根号6/3 cosB=根号6/6 ,AC边上的中线BD=根号5,求sinA值
把三角形补成平行四边形ABCE,AC,BE为对角线,
那么
由余弦定理有
BE^2=BC^2+CE^2-2BC*CE*cos角BCE (角BCE与角B互补)
20=BC^2+32/3-2*BC*4√6/3*(-√6/6)
20=BC^2+32/3+BC*8/3
3BC^2+8BC-28=0
(3BC+14)(BC-2)=0
所以
BC=2
再由余弦定理得
AC^2=BC^2+AB^2-2BC*AB*cos角B
=4+32/3-2*2*4√6/3*(√6/6)
=28/3
所以
AC=2√21/3
由正弦定理有
BC/sinA=AC/sinB
sinB=√1-(√6/6)^2=√30/6
2/sinA=(2√21/3)/(√30/6)
所以
sinA=√70/14
将BD延长一倍至E,即DE=BD
用向量来求解BC的长
向量BE^2=(向量AB+向量BC)^2(这里的是数量积)
=AB^2+BC^2+2AB*BC*COSABC
设BC为x,(2√5)^2=32/3+x^2+8/3x 解得x=2
由余弦定理可得AC=根号(28/3）
再由正弦定理得SinA=根号(20/21）
设AD=DC=x
cos∠ADB=BD²+x²-AB²/2BD*x
cos∠BDC=BD²+x²-BC²/2BD*x
cos∠BDC=cos（π-∠ADB）=-cos∠ADB
BC²=10+2x²-AB²
又2AB*BC=AB²+BC²-AC...
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设AD=DC=x
cos∠ADB=BD²+x²-AB²/2BD*x
cos∠BDC=BD²+x²-BC²/2BD*x
cos∠BDC=cos（π-∠ADB）=-cos∠ADB
BC²=10+2x²-AB²
又2AB*BC=AB²+BC²-AC²=10-2x²， （10-2x²）²=64/9（10+2x²-32/3）
27x的4次-366x²+707=0，（3x²-7）（9x²-101）=0
x²=7/3， x²=101/9（经验证不合格舍去）
BC²=2*7/3+10-32/3=4，BC=2，AC=2*根号21/3，sinB=根号(1-cos²B)=根号30/6
sinA/BC=sinB/AC，sinA=根号70/14
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