作业帮不定积分x乘以（根号下1-x^2／1+x^2） 怎么求啊
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:47:24
不定积分x乘以（根号下1-x^2／1+x^2） 怎么求啊
不定积分x乘以（根号下1-x^2／1+x^2） 怎么求啊
不定积分x乘以（根号下1-x^2／1+x^2） 怎么求啊
Let z = x²,dz = 2x dx
∫ x√[(1 - x²)/(1 + x²)] dx
= (1/2)∫ √(1 - z)/(1 + z) dz
= (1/2)∫ √(1 - z)/√(1 + z) · √(1 - z)/√(1 - z) dz
= (1/2)∫ (1 - z)/√(1 - z²) dz
= (1/2)∫ dz/√(1 - z²) dz - (1/2)∫ z/√(1 - z²) dz
= (1/2)∫ dz/√(1 - z²) dz - (1/2)(- 1/2)∫ 1/√(1 - z²) d(1 - z²)
= 1/2 · arcsin(z) + 1/4 · 2√(1 - z²) + C
= (1/2)arcsin(z) + (1/2)√(1 - z²) + C
= (1/2)[arcsin(x²) + √(1 - x⁴)] + C
令 u = x²
I = (1/2) ∫ √[(1﹣u)/(1 + u)] du
= (1/2) ∫ (1﹣u)/√(1﹣u²) du 分子分母同时乘以 √（1-u）
= (1/2) [ ∫ 1/√(1﹣u²) du + ∫ (﹣u)/√(1﹣u²) du ]
= (1/2)arcsinu +...
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令 u = x²
I = (1/2) ∫ √[(1﹣u)/(1 + u)] du
= (1/2) ∫ (1﹣u)/√(1﹣u²) du 分子分母同时乘以 √（1-u）
= (1/2) [ ∫ 1/√(1﹣u²) du + ∫ (﹣u)/√(1﹣u²) du ]
= (1/2)arcsinu + (1/2) /√(1﹣u²) + C
= (1/2)arcsinx² + (1/2) /√(1﹣x^4) + C
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