证明不等式:(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 15:27:11
证明不等式:(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²

证明不等式:(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²
证明不等式:(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²

证明不等式:(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²
证明:(a²+b²)(c²+d²)
=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
∵a²d²+b²c²=(ad+bc)²-2abcd≥0
(ad+bc)²≥2abcd
a²d²+b²c²≥(ad+bc)²
∴a²d²+b²c²≥2abcd
a²c²+a²d²+b²c²+b²d²≥a²c²+2abcd+b²d²=(ac+bd)²
故原不等式得证.

(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2
=a2c2+b2c2+a2d2+b2d2-(a2c2+2abcd+b2d2)
=b2c2-2abcd+a2d2
=(bc-ad)2≥0
所以:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

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