作业帮求下列极限 lim（n→∞）∑(上n 下i=1) sin π/(√(n^2+i))
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 06:10:08
求下列极限 lim（n→∞）∑(上n 下i=1) sin π/(√(n^2+i))
求下列极限 lim（n→∞）∑(上n 下i=1) sin π/(√(n^2+i))
求下列极限 lim（n→∞）∑(上n 下i=1) sin π/(√(n^2+i))
当n→∞时,π/(√(n^2+i))→0.又x→0时,sinx→x.所以：上式的极限可写为：
I=lim（n→∞）∑(上n 下i=1) sin[π/(√(n^2+i))]
=lim（n→∞）∑(上n 下i=1) [π/(√(n^2+i))]
=lim（n→∞）∑(上n 下i=1) [π/(√(1+i/n^2))](1/n)
令x=i/n,dx=1/n,上面求和式的极限可转化为下列积分：
I=(上限1 下限0),π∫[1/√(1+x/n)]dx,lim（n→∞）
=(上限1 下限0),[2nπ√(1+x/n)],lim（n→∞）
=lim（n→∞),2nπ[√(1+1/n)-1]
=lim（n→∞),2π[√(1+1/n)-1]/(1/n)
=lim（n→∞),2π[(1+1/n)-1]/[(1/n)(√(1+1/n)+1)]
=lim（n→∞),2π(1/n)/(2/n)
=π
极限是π
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