已知直角三角形ABC的周长为4+2根号2,求此三角形面积的最大值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 11:35:56

已知直角三角形ABC的周长为4+2根号2,求此三角形面积的最大值
已知直角三角形ABC的周长为4+2根号2,求此三角形面积的最大值

已知直角三角形ABC的周长为4+2根号2,求此三角形面积的最大值
设三角形的三边为a,b,c,其中c为斜边,周长为L
所以有L＝a＋b＋c＝a＋b＋√(a^2＋b^2)
因为a＋b≥2√(ab),√(a^2＋b^2)≥√(2ab)
所以L≥2√(ab)＋√(2ab)
把S＝ab/2代入可求得
S≤L^2/[4(3＋2√2)]
即周长为定值L的直角三角形的面积最大值是L^2/[4(3＋2*√2)]
当L＝4＋2√2时
S的最大值＝(4＋2√2)^2*L/[4(3＋2*√2)]＝2
此时,a＝b＝2,三角形ABC是一个等腰直角三角形
一般地,有下面的一般性结论：“周长一定的直角三角形中,当它为等腰直角三角形时面积最大”
江苏吴云超解答供参考!

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